复合函数的孤立奇点与留数计算【精选3篇】

复合函数的孤立奇点与留数计算 篇一

在复分析中，复合函数的孤立奇点与留数计算是一项重要而常见的任务。复合函数是指由两个或多个函数组合而成的新函数。对于复合函数而言，我们需要关注的是它的孤立奇点和留数。

首先，我们来了解一下什么是孤立奇点。在复数域上，孤立奇点是指一个函数在某个点上不解析，即该点处的函数值无法通过函数的解析表达式计算得到。孤立奇点分为三种类型：可去奇点、极点和本性奇点。可去奇点是指在该点上，函数有一个有限的极限值；极点是指在该点上，函数的绝对值趋近于无穷大；本性奇点是指在该点上，函数既不趋近于有限值也不趋近于无穷大。

接下来，我们来探讨复合函数的孤立奇点。当我们有两个复合函数f(g(z))时，其中f(z)和g(z)都有自己的孤立奇点。在这种情况下，我们需要考虑g(z)的孤立奇点，并确定f(z)在这些孤立奇点上的表现。具体来说，如果g(z)在某个点z0处有一个可去奇点，那么f(g(z))在这个点处也有一个可去奇点；如果g(z)在某个点z0处有一个极点，那么f(g(z))在这个点处也有一个极点；如果g(z)在某个点z0处有一个本性奇点，那么f(g(z))在这个点处也有一个本性奇点。

最后，我们来讨论复合函数的留数计算。留数是指在孤立奇点上计算的一种特殊的复数值。对于复合函数而言，我们可以通过以下公式来计算它的留数：Res(f(g(z)), z0) = Res(f(z), g(z0)) * Res(g(z), z0)，其中f(z)和g(z)分别是复合函数的两个函数，z0是复合函数的孤立奇点。这个公式的意思是，复合函数的留数等于两个函数在相应孤立奇点上的留数的乘积。

综上所述，复合函数的孤立奇点与留数计算是一项重要的任务。我们需要关注复合函数的孤立奇点类型，并通过留数计算公式来计算复合函数的留数。这些知识对于解析复合函数的性质和行为非常有帮助。在实际应用中，我们可以利用这些知识来解决各种问题，例如计算复合函数在某个点处的极限值或者求解复合函数的积分等。

复合函数的孤立奇点与留数计算 篇三

摘要

复合函数的孤立奇点与留数计算是留数理论应用中的重要内容，对于1些复杂的复合函数，如果直接讨论其孤立奇点的类型与留数计算往往极为困难，为了解决这1问题，本文将复合函数分解为两个简单函数来研究，首先建立了复合函数的孤立奇点类型与其内外函数的孤立奇点类型的关系，在1定意义下，所得结果具有普遍性。然后，根据某些孤立奇点的'特性，并利用留数的定义，建立了若干个用内外函数的留数或某些Laurent系数来表示复合函数的留数的公式，并举例介绍了其应用，从列举的例子中可以看到所得公式在简化复合函数留数计算中的作用。

关键词：复合函数，孤立奇点，可去奇点，极点，本性奇点，留数。

Abstract

Compound functions isolated singularity and residue computation is the substantial content of residue theorys applicat

ion, to several complicated compound function, if we discuss it directly, it is difficulty. To solve this problem, this passage will put compound function into two parts. Firstly, constitute compound functions isolated singularity and relation of interior function and external function. In a degree, the result is ripeness. Where after. We can use certain isolated singularitys property and define of fluxion, constitute several interior function and external functions fluxion or several Laurent quotient to show compound functions flexion’s expressions. Take some example to solve compound function.

Key words: Compound function, isolated singularity, removable singularity, vertex, essential singularity, residue.