浅谈勒贝格积分论文(实用3篇)

浅谈勒贝格积分论文 篇一

勒贝格积分是数学中重要的积分概念之一,由法国数学家亨利·勒贝格于19世纪末提出。勒贝格积分在实数轴上定义了对函数的积分操作,为我们研究函数的性质和计算其面积提供了强有力的工具。本文将从勒贝格积分的定义、性质以及应用角度进行浅谈。

首先,我们来看勒贝格积分的定义。在实数轴上,勒贝格积分通过划分区间并计算每个小区间上函数值与区间长度的乘积来逼近函数的面积。具体而言,对于一个非负函数f(x),我们将实数轴上的区间[a, b]分割成有限个小区间,然后计算每个小区间上的函数值与区间长度的乘积之和,即Σf(xi)Δxi,其中xi为小区间内的任意一点,Δxi为小区间的长度。当分割趋于无穷细时,这个和的极限就是勒贝格积分。对于一般函数,我们可以将其分解为正部分和负部分进行积分。

勒贝格积分具有一些重要的性质。首先,勒贝格积分是广义积分的一种,能够处理更一般的函数情况。其次,勒贝格积分具有可加性,即对于可积函数f(x)和g(x),有∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx。此外,勒贝格积分还具有保序性和保持极限的性质。这些性质使得勒贝格积分成为数学分析中重要的工具。

最后,我们来看一些勒贝格积分的应用。勒贝格积分广泛应用于实际问题中,如计算曲线的弧长、计算平面图形的面积等。勒贝格积分的应用还涉及到概率论、信号处理等领域。在概率论中,勒贝格积分可以用于计算随机变量的期望和方差。在信号处理中,勒贝格积分可以用于信号的平均功率和能量的计算。

总之,勒贝格积分是数学分析中重要的积分概念之一。本文从勒贝格积分的定义、性质和应用角度进行了浅谈。勒贝格积分的引入为我们研究函数的性质和计算其面积提供了强有力的工具,具有广泛的应用前景。

浅谈勒贝格积分论文 篇二

勒贝格积分是数学分析中的重要内容,其研究对于深入理解积分概念和推广积分理论具有重要意义。本文将从勒贝格积分的历史背景、定义、性质以及在实际问题中的应用等方面进行探讨。

首先,我们来看勒贝格积分的历史背景。勒贝格积分的提出可以追溯到19世纪末,由法国数学家亨利·勒贝格首先引入。勒贝格的研究主要集中在实数轴上,他通过引入可测集合的概念,建立了一套完整的积分理论体系,即勒贝格积分。勒贝格积分的提出填补了黎曼积分在一些情况下的不足,为进一步推广积分理论奠定了基础。

其次,我们来看勒贝格积分的定义和性质。勒贝格积分的定义是基于可测集合的概念的,通过将函数分解为正部分和负部分进行积分。勒贝格积分具有可加性、保序性和保持极限等性质,这些性质使得勒贝格积分成为处理一般函数的有效工具。此外,勒贝格积分还满足黎曼积分的一些重要性质,如积分中值定理和积分的保号性等。这些性质为我们研究函数的性质和计算其面积提供了便利。

最后,我们来看勒贝格积分的应用。勒贝格积分在实际问题中有广泛的应用。例如,勒贝格积分可以用于计算曲线的弧长、计算平面图形的面积等。此外,在概率论、信号处理以及偏微分方程等领域,勒贝格积分也有重要的应用。在概率论中,勒贝格积分可以用于计算随机变量的期望和方差。在信号处理中,勒贝格积分可以用于信号的平均功率和能量的计算。在偏微分方程中,勒贝格积分可以用于解的存在性和唯一性的证明等。

综上所述,勒贝格积分是数学分析中重要的内容。本文从勒贝格积分的历史背景、定义、性质和应用等方面进行了探讨。勒贝格积分的研究对于推广积分理论和解决实际问题具有重要的意义。

浅谈勒贝格积分论文 篇三

浅谈勒贝格积分论文

  在现实的学习、工作中,大家最不陌生的就是论文了吧,论文是我们对某个问题进行深入研究的文章。相信许多人会觉得论文很难写吧,下面是小编精心整理的浅谈勒贝格积分论文,希望能够帮助到大家。

  摘要

  本文以勒贝格积分的形成思想为线索先指出黎曼积分存在缺陷,然后进一步针对黎曼积分缺陷当中的两大不足进行阐述,为了改进积分理论,

勒贝格重新建立了一套积分理论,而这套理论的核心关键在于勒贝格引入了测度的概念。本文简略地介绍和解释了测度理论的主要概念,指出由测度引入扩大了可积范围带来了质的飞跃以及勒贝格积分对于黎曼积分的替代性和优越性。

  关键字:

  黎曼积分;测度;勒贝格积分;替代性;优越性

  Abstract

  The thread of this paper is showed by pointing out that the flaws of Riemann integral exists firstly, then describing the two major deficiencies among them. In order to improve integration theory, Lebesgue had reestablished a set of integral theory, and the core of this theory lies in introducing the concept of Lebesgue measure. In this paper, the main concepts of the theory on measure are introduced and explained briefly. Besides this, we point out that introducing the measure has led to the expanding of the integrable range , thus it has brought a qualitative leap and showed the replacement and superiority to Lebesgue integral than the Riemann integral .

  Keywords:

  Riemann integral; measure; Lebesgue integra;quality of replacing;superiority

  目 录

  前言 3

  1 RIEMANN积分的'不足4

  1.1 狄利克雷函数不可积4

  1.2 Riemann积分(以下简称R积分)的两个理论缺陷4

  1.2.1 R可积函数对连续性的要求4

  1.2.2 R积分与极限可交换的条件5

  2 测度5

  2.1 什么叫测度5

  2.2 为什么引入测度的概念5

  2.3 测度的计算6

  2.3.1 外测度的定义6

  2.3.2 外测度的性质6

  2.4 如何判断可测集7

  2.5 可测集中两个重要的概念 7

  2.5.10测度集8

  2.5.2几乎处处8

  3 可测函数8

  3.1 可测函数的定义8

  3.2可测函数的判断条件8

  3.3 可积函数类的扩大9

  4 Lebesgue积分10

  5 Lebesgue积分对Riemann积分的替代性10

  6 Lebesgue积分和Riemann积分相比的优越性11

  6.1 L可积函数可积的要求11

  6.2 L积分与极限可交换的条件11

  7 结束语13

  8 参考文献14

  9 致谢15

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